Les polygones
Un polygone, en géométrie euclidienne, est une figure géométrique plane formée d'une ligne brisée (appelée aussi ligne polygonale) fermée, c'est-à-dire d'une suite cyclique de segments consécutifs.
Les segments sont appelés bords ou côtés et les extrémités des côtés sont appelés sommets ou coins du polygone.
Un polygone est dit croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont sécants, et simple si l'intersection de deux côtés est vide ou réduite à un sommet pour deux côtés consécutifs. La somme des angles d'un polygone simple (convexe ou non) ne dépend que de son nombre de sommets.
Dans le cas des polygones simples, on confond souvent le polygone et son intérieur en appelant polygone la surface délimitée par la ligne polygonale fermée1.
Les polygones réguliers
En géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure). Un polygone régulier est soit convexe, soit étoilé.
Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables. Tout polygone régulier étoilé de n côtés a une enveloppe convexe de n côtés, qui est un polygone régulier. Un entier n supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un polygone régulier convexe de n côtés.
Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront convexes et réguliers. Il est alors d'usage de sous-entendre les deux épithètes « convexe régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être convexes et régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone…
Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques.
Polygones réguliers convexes
En géométrie, un polygone convexe est un polygone simple dont l'intérieur est un ensemble convexe. Un polygone simple qui n'est pas convexe est dit concave1,2.
-
Le triangle
-
En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane formée par trois points (appelés sommets) et par les trois segments qui les relient (appelés côtés), délimitant un domaine du plan appelé intérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un angle intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ».
Le triangle est aussi le polygone le plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation de surfaces.
De nombreuses constructions géométriques de points, droites et cercles associés à un triangle sont liées par des propriétés qui étaient en bonne part déjà énoncées dans les Éléments d'Euclide, près de 300 ans avant Jésus-Christ. Les relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés sont notamment à l'origine de techniques de calcul de distances par triangulation. Le développement de ces techniques constitue d'ailleurs une branche des mathématiques appelée trigonométrie..
Hors de la géométrie euclidienne, les côtés d'un triangle sont remplacés par des arcs géodésiques et beaucoup de ses propriétés sont modifiées (voir Trigonométrie sphérique).
La forme triangulaire se retrouve dans de nombreux objets, mathématiques ou non, et s'est chargée de symboliques diverses. De nombreux caractères typographiques présentent une telle forme.
Types de triangles
- équilatéral
- isocèle
- rectangle
- quelconque
-
Le carré
-
En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits. C’est donc un polygone régulier, qui est à la fois un losange, un rectangle, et par conséquent aussi un parallélogramme particulier.
Dans le plan, un carré est invariant par quatre symétries axiales, par deux rotations d’angle droit et par une symétrie centrale par rapport à l’intersection de ses diagonales.
Les premières représentations du carré datent de la préhistoire. Le carré est, avec le cercle, l'une des figures géométriques remarquables les plus étudiées depuis l'Antiquité, le problème de la quadrature du cercle ayant tenu en haleine de nombreux mathématiciens pendant deux millénaires.
La figure du carré illustre l’opération du carré en algèbre, consistant à multiplier un élément par lui-même. En particulier, l’aire d’un carré est égale au carré de la longueur d’un côté.
-
Le pentagone
-
En géométrie, un pentagone est un polygone à cinq sommets, donc cinq côtés et cinq diagonales.
Un pentagone est soit simple (convexe ou concave), soit croisé. Le pentagone régulier étoilé est le pentagramme.
-
L'hexagone
-
Un hexagone, du grec ἕξ (« six ») et γωνία (« angle »), est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être régulier ou irrégulier.
Un hexagone régulier est un hexagone convexe dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120°.
Comme les carrés et les triangles équilatéraux, les hexagones réguliers permettent un pavage régulier du plan. Les pavages carrés et hexagonaux sont notamment utilisés pour réaliser des dallages.
Parmi tous les pavages du plan, le pavage hexagonal (régulier) est celui dont la longueur totale des côtés est le plus petit. Cette propriété est à l'origine, dans la nature, de nombreuses dispositions (planes ou en section plane) comme les alvéoles d'abeilles ou la prismation (en) des orgues basaltiques et des sols polygonaux.
Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).
-
L'heptagone
-
Un heptagone est un polygone à sept sommets, donc sept côtés et quatorze diagonales.
La somme des angles internes d'un heptagone non croisé vaut 5π radians.
Un heptagone régulier est un heptagone dont tous les côtés sont égaux et dont tous les angles internes sont égaux. Il y en a trois : deux étoilés (les heptagrammes réguliers) et un convexe. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptagone régulier ».
L'heptagone régulier est le plus petit des polygones réguliers non constructibles à la règle et au compas. Il est cependant possible de réaliser une construction à la règle et au compas si l'on s'aide d'autres outils géométriques ou si la règle peut être graduée (construction par neusis). Il est aussi possible d'en tracer une version approchée, aux erreurs faibles, avec le compas et la règle non graduée.
-
L'octogone
-
Un octogone (du grec ὀκτάγωνον oktágōnon, cf. ὀκτώ oktṓ « huit » et γωνία gōnía « angle ») est un polygone à huit sommets, donc huit côtés et vingt diagonales.
La somme des angles internes d'un octogone non croisé est égale à 6π rad, soit 1 080°.
Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont la même valeur.
Il existe un octogone régulier étoilé (l'octagramme régulier, noté {8/3}) mais usuellement, « octogone régulier » désigne implicitement l'octogone régulier convexe, noté {8}.
-
L'ennéagone
-
Un ennéagone1, ou nonagone2,3,4, est un polygone à 9 sommets, donc 9 côtés et 27 diagonales..
La somme des angles internes d'un ennéagone non croisé vaut 7π radians, soit 1 260 degrés..
Un ennéagone régulier est un ennéagone dont les neuf côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (les ennéagrammes notés {9/2} et {9/4}) et un convexe, noté {9}. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéagone régulier ».
-
Le décagone
-
Un décagone est un polygone à 10 sommets, donc 10 côtés et 35 diagonales.
La somme des angles internes d'un décagone non croisé vaut 1 440°.
Un décagone régulier est un décagone dont les dix côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a deux : un étoilé (le décagramme noté {10/3}) et un convexe (noté {10}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le décagone régulier ». Il est constructible.
-
L'hendécagone
-
Un hendécagone ou undécagone est un polygone à 11 sommets, donc 11 côtés et 44 diagonales.
La somme des angles internes d'un hendécagone non croisé est égale à 1 620°.
Un hendécagone régulier est un hendécagone dont les onze côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a cinq : quatre étoilés (les hendécagrammes notés {11/2}, {11/3}, {11/4} et {11/5}) et un convexe (noté {11}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « l'hendécagone régulier ».
Le nombre premier 11 n'est pas un nombre de Fermat ; il est donc impossible de construire à la règle et au compas un hendécagone régulier ; en 2014, une construction par neusis en a cependant été découverte1.
-
Le dodécagone
-
Un dodécagone est une figure de géométrie plane. C'est un polygone à 12 sommets, donc 12 côtés et 54 diagonales.
La somme des angles internes d'un dodécagone non croisé est égale à 1 800 degrés.
Un dodécagone régulier est un dodécagone dont les douze côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont la même mesure. Il y en a deux : un étoilé (le dodécagramme noté {12/5}) et un convexe (noté {12}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le dodécagone régulier ».
Le dodécagone régulier est construit au compas par la dissection de chaque côté d'un hexagone régulier. Le périmètre du dodécagone régulier donne une meilleure approximation du nombre π que celle donnée par la mesure du périmètre de l'hexagone.
-
Le polygone régulier étoilé
-
En géométrie, un polygone régulier étoilé (à ne pas confondre avec une partie étoilée) est un polygone régulier non convexe. Les polygones étoilés non réguliers ne sont pas formellement définis.
Branko Grünbaum identifie deux notions primaires utilisées par Kepler, l'une étant le polygone régulier étoilé avec des arêtes sécantes qui ne génèrent pas de nouveaux sommets, et l'autre étant de simples polygones concaves1.
-
Le pentagramme
-
Pentagramme est, à l'origine, un terme qui concerne l'écriture. Il se réfère à un caractère calligraphié composés de cinq graphèmes élémentaires. Le signe de cantillation hébraïque chalchèlèt est un pentagramme.
Plus généralement, le mot pentagramme s'applique à un graphique ou un objet qui représente une figure à cinq éléments, telle une étoile à cinq branches, principalement utilisé en ésotérisme et en magie.
-
L'hexagramme
-
Un hexagramme (du grec) ou sexagramme (du latin) est une figure géométrique à six branches avec le symbole de Schläfli {6/2}, 2{3}, or {{3}}.
La figure est composée de deux triangles équilatéraux. L'intersection est un hexagone régulier.
-
L'heptagramme
-
Un heptagramme est une étoile à sept branches dessinée sur la base de sept droites. Plus précisément : c'est un heptagone régulier étoilé. Un heptagramme est une stellation de l'heptagone régulier convexe
À partir de l'heptagramme on peut avoir plusieurs formes étoilées par la postion des cotés de celui-ci. Si la nomination {7/1} correspond à l'heptagone et représente le dessin d'un segment d'un des points d'angle au pont juste à coté de lui alors les nominations heptagrammes {7/2} et {7/3} représente les segments avec un ou deux points d'écarts. Les segments sont tous identiques mais croisés entre eux et donne à notre polygone une forma étoilé d'où son appellation de polygone étoilé. Cela est valable pour tous les polygones supérieurs pour lesquels on peut fabriquer une ou plusieurs formes étoilées de la même façon.
-
Le octogramme
-
En géométrie, un octogramme ou étoile à huit branches est un polygone étoilé à huit angles.
Le nom octogramme combine le préfixe numérique grec, octo-, avec le suffixe -gram . Le suffixe -gram dérive de γραμμή (grammḗ) signifiant "ligne"1..
-
L'ennéagramme ou nonagramme
-
En géométrie, un ennéagramme, ou nonagramme, est un ennéagone régulier étoilé. Il n'y en a que deux, désignés par leur symbole de Schläfli, {9/2} ou {9/4}.
-
Le décagramme
-
En géométrie, un décagramme est un polygone étoilé à 10 sommets. Il existe un seul décagramme régulier, que l'on peut construire à partir du décagone régulier en reliant les sommets de 3 en 3. Son symbole de Schläfli est {10/3}.
Polygones irréguliers
Tous les polygones ne sont pas réguliers et utilisent des angles à la fois convexes et concaves.
En géométrie, un polygone n’ést pas régulier si ses côtés ne font pas tous la même longueur.
Vous retrouverez d'autres types de polygones sur la page des Plygones de Wikipédia
Conclusion
L'ensemble des informations ici présentes sont pour la majorité les introductions des articles Wikipédia cités immédiatement sous ces textes.
N'hésitez pas à cliquer sur les titres d'articles pour voir la représentation des polygones sur une page un peu plus intéressante par des fonctions de dessins de Polygones